Thermostaat

Onderstaande is een bewerking van een artikel van Willis Eschenbach  op de klimaatsite http://whatsupwiththat.com . Het beschrijft hoe met name cumulonimbus wolken in de tropen in staat zijn om de temperatuur op aarde te reguleren.
De Thermostaat Hypothese

willis0

 

De thermostaathypothese is de hypothese dat tropische wolken en onweersbuien actief de temperatuur van de aarde reguleren. Zij houden de aarde dus op een evenwichttemperatuur. De stabiliteit van de temperatuur op aarde in de tijd is lange tijd een raadsel geweest. De fluctuaties bewegen zich  ± ~ 3% (inclusief ijstijden) gedurende de afgelopen 500 miljoen  jaar.  Gedurende het Holoceen  zijn de temperatuurfluctuaties  ± 1%.

Die aardse stabiliteit  is echter niet terug te vinden in de zonnestraling.  4 miljard jaar geleden was de totale zonnestraling ongeveer drie kwart van de huidige waarde (Gough, 1981Bahcall et al.., 2001). Merwaardigerwijze was de aarde toen niet navenant koeler. Temperatuurproxies zoals deuterium / waterstofverhoudingen  en 16O/18O-verhoudingen  vertonen geen tekenen van een 30% opwarming van de aarde in deze tijd. Waarom warmde de aarde niet op toen de zon opwarmde?

Een veel waarschijnlijker verklaring is dat er een natuurlijke mechanisme is dat de temperatuur op aarde sinds mensenheugenis reguleert.Dit is de zogenaamde “Faint Early Sun Paradox ‘(Sagan en Mullen, 1972), en wordt doorgaans verklaard door te veronderstellen dat de atmosfeer destijds  veel rijker aan broeikasgassen was momenteel. Dit zou echter betekenen dat de daling van de broeikasgassen tot nu toe gelijke tred heeft gehouden met de toename van de zonneactiviteit. Dit lijkt hoogst onwaarschijnlijk.

De theorie

Bejan (Bejan 2005) heeft aangetoond dat het klimaat kan worden voorgesteld als een warmtepomp, met de oceaan en de atmosfeer als  werkende media. De tropen vormen de hete einde van de warmtepomp. Een deel van die tropische hitte wordt in de tropen weer uitgestraald,  de ruimte in. Het werk in de warmtepomp wordt uitgevoerd door de werkende media die de rest van die tropische warmte naar de polen brengen. Daar, aan het koude einde van de warmtepomp, wordt de warmte uitgestraald, de ruimte in  . Bejan toonde aan dat het bestaan en omvang  van de Hadley-cells (tropische luchtcirculatiesystemen aan beide zijden van de ITCZ) een afleidbaar gevolg van de zogenaamde  Constructal Law.

De Constructal Law werd door Bejan in 1996/2006/2007 als volgt omschreven: “For a finite-size system to persist in time (to live), it must evolve in such a way that it provides easier access to the imposed currents that flow through it.” .  Het belangrijkste principe van de Constructal Law  is dat elk systeem gedoemd is onvolmaakt te blijven. Als gevolg hiervan streeft het systeem naar een optimale verdeling van de onvolkomenheden. Daarmee lijkt de Constructal Law op de Tweede Hoofdwet van de Thermodynamica, die luidt: De entropie van een geïsoleerd systeem dat niet in evenwicht is, neemt in de loop van de tijd toe, tot het maximum voor dat geïsoleerde systeem is bereikt. De toestand met de maximale entropie is de evenwichtstoestand.

Hij toonde ook aan hoe de temperatuur van het stromingssysteem wordt bepaald.  Bejan: “We pursue this from the constructal point of view, which is that the [global] circulation itself represents a flow geometry that is the result of the maximization of global performance subject to global constraints.” “The most power that the composite system could produce is associated with the reversible operation of the power plant. The power output in this limit is proportional to: “

willis1

In de formule is q  de totale energiestroom door het systeem (van de tropen tot polen), en TH en TL zijn de hoge en lage temperaturen (tropisch en polaire temperaturen in kelvin). Het systeem is voortdurend bezig dat vermogen te maximaliseren. Hier is een overzicht van het hele systeem dat warmte transporteert van de tropen naar de polen:

willis2

Bovenstaande figuur toont de aarde als warmtepomp. De equatoriale Hadley Cells  leveren de energie voor het systeem. In de tropen is de zonne-energie/m2 (oranje pijlen) het sterkst. Warme droge lucht daalt neer op ongeveer 30° NB en 30° ZB, en  vormt zo de grote woestijnen over de hele wereld. Warmte wordt getransporteerd door een combinatie van de zeestromen en de atmosfeer (luchtstromen) naar de polen. Op de polen wordt de warmte uitgestraald naar de ruimte.

Met andere woorden, stromingssystemen zoals het klimaat leveren niet zo maar onvermijdelijk een stabiele temperatuur.  Zij veranderen hun eigen stromen zodanig dat de geproduceerde en gebruikte energie maximaal is. Het is dit dynamische proces, en niet een eenvoudige lineaire verandering van de atmosferische gassamenstelling, die het totale temperatuurbereik van de planeet bepaalt.

De Constructal Law stelt dat elke stromingssysteem zich “quasi” zal stabiliseren in een positie rond (maar nooit te bereiken) ideale situatie. In het geval van het klimaat is dat  de toestand van de maximale totale productie en consumptie van energie. En dit op zijn beurt betekent dat elke waterplaneet een evenwichtstemperatuur bezit, die actief wordt bepaald door het stromingssysteem.

De klimaatregulator

Elke warmtepomp heeft een “gaspedaal”. Het gaspedaal is het deel van de motor dat bepaalt hoeveel energie de warmtepomp binnenkomt. Het controleert inkomende energie. De stabiliteit van de temperatuur op aarde in de tijd (met inbegrip van afwisselende bi-stabiele glaciale / interglaciale periodes) en een aantal theoretische beschouwingen, geven aan dat deze klimatologische warmtepomp zoiets als een regulator moet hebben die het gaspedaal bedient.
Hoewel alle warmtepompen een gasklep hebben, hebben niet pompen een regulator. In een auto is de regulator van de gasklep de “cruise control”. Een regulator past de energietoevoer naar de automotor aan om een constante snelheid te bewerkstelligen, onafhankelijk van veranderingen in de interne en externe factoren zoals heuvels, wind, motorefficiëntie  en verliezen.

Een regulator bedient echter niet alleen de energietoevoer, maar is ook in staat om te gaan met zogenaamde “overshoot”.Dat is het verschil met negatieve feedbacks, die slechts in staat zijn om een toename van bijvoorbeeld de temperatuur te reduceren. Negatieve feedbacks zijn niet in staat  om op langere termijn een steady state te bewerkstelligen.

willis5

 

De zonne-energie die op aarde valt wordt grotendeels geabsorbeerd in de tropen. De tropen bestaan, net als de rest van de wereld, vooral uit oceaan; het land is er bovendien nat. Dampende tropen dus. Er is weinig ijs, dus de wolken in de tropen controleren de hoeveelheid energie die de klimatologische warmtepomp ingaat.

In de hypothese spelen twee verwante soorten wolken in de tropen een hoofdrol, namelijk de cumulus en cumulonimbus. Beide reguleren, elk op hun eigen wijze, de temperatuur. Cumulus zijn de fraaie witte stapelwolken die in de loop van een zomerse dag aan de hemel verschijnen. Cumulinimbus zijn hoge onweerswolken die ontstaan uit cumulus wolken
Ik stel voor dat twee met elkaar verwante maar afzonderlijke mechanismen handelen rechtstreeks naar de temperatuur van de aarde reguleren – tropische cumulus en cumulonimbus. Cumulus wolken zijn de pluizige “watje” wolken die in overvloed in de buurt van het oppervlak op warme middagen.

Cumulonimbus wolken onweer wolken, die het leven beginnen als eenvoudige stapelwolken. Beide wolken spelen een rol als “gasklep”: ze houden een deel van de binnenkomende zonne-energie tegen. Bovendien werkt de cumulonimbus als actieve warmtepomp om indien nodig de noodzakelijke “overshoot”  te bewerkstelligen en zo als regulator voor het klimaatsysteem te dienen.

Een dag in de tropen

Een  dag in de tropen volgt vaak hetzelfde patroon:  bij zonsopgang (omstreeks 6 uur) helder en rustig weer. Dan ’s ochtends toenemende wind en bewolking, die doorzet in de namiddag. In de middag buien en kans op zware onweersbuien. Na zonsondergang wordt het weer helder, met soms een enkele onweersbui. Zo gaat het vrijwel elke dag, bijna overal in de tropen.

De cyclus wordt aangedreven door het dag/nachtritme. ’s Ochtends verwarmt de zon de bovenste laag van het land, de luchttemperatuur stijgt en de verdamping neemt toe. Lucht stijgt, koelt adiabatisch af en aan het eind van de ochtend ontstaan door condensatie de eerste wolken. De bovenzijde van de wolken reflecteren het zonlicht:  het eerste regelmechanisme. Het is de negatieve feedback van cumulus die de hoeveelheid inkomende zonne-energie temperen.
Maar de zon in de tropen is krachtig, en ondanks die negatieve feedback van de cumulus wordt het warmer. Meer cumulus ontstaan daardoor.

willis9

Dan volgt in de loop van de middag het tweede deel. Als de temperatuur blijft oplopen veranderen sommige cumuli en ontstaat er aan de bovenzijde een kolom warme vochtige lucht die in korte tijd kilometers de lucht in reikt.  Dit is het ontstaan van een cumulonimbus, reusachtige onweerswolken van wel 10 tot 15 km hoogte.  Daarmee reiken ze tot aan het einde van de troposfeer en soms nog hoger. Het kolomvormige uitstulpsel van de onweerswolk fungeert als een heat pipe.

willis11

Een heat pipe is een transportmechanisme dat grote hoeveelheden warmte kan verplaatsen. In een heat pipe zit een transportmedium, dat aan de warme kant verdampt, waarbij het energie opneemt, als gas zich voortbeweegt naar de koude kant, alwaar het condenseert en zijn warmte afgeeft, om vervolgens weer terug te gaan naar de warme kant. Dat medium in de onweerswolk is waterdamp. Door condenseren van waterdamp op weg naar boven komen grote hoeveelheden latente warmte vrij, die weer zorgen voor een razendsnel stijgen van de lucht in de heat pipe. Een zelfversterkend effect dus, waardoor cumulinimbi grote hoogten kunnen bereiken.

willis6

Tijdens het vervoer omhoog is er geen stralingsoverdracht of de interactie tussen de turbulente stijgende lucht en de onderste en middelste troposfeer. Op deze wijze worden grote hoeveelheden warmte naar de top van de onweerswolk getransporteerd. Bovenin, op hoogten van 10 tot 15 km, straalt deze warmte vrijwel ongehinderd naar de ruimte uit, doordat op deze hoogte de hoeveelheid broeikasgassen nog maar een fractie van die in de troposfeer. Zo raakt de aarde veel energie kwijt.

Naast deze twee mechanismen hebben onweerswolken onderaan ook een afkoelend effect. Zo neemt de windsnelheid bij een onweersbui sterk toe, waardoor de verdamping  ook sterk toeneemt.

De werking van het mechanisme

Het probleem met bovengenoemde beschrijving van een dag in de tropen is dat de situatie constant verandert. De temperatuur gaat op en neer, de bewolkingsgraad neemt toe en af, dag/nachtritme, de seizoenen komen en gaan. Waar in al dat voortdurende veranderen is de reguleringsmechanisme? Als de omstandigheden altijd anders zijn, wat zorgt er dan voor dat de temperatuur niet ontspoort?

Om dat te kunnen waarnemen moeten we een ander waarnemingspunt innemen , en wel zodanig dat we de factor tijd uitschakelen en daarmee de dag/nachtritme en de seizoenswisselingen. Dat is de zon.  Vanuit de zon bezien is het altijd dag, en altijd zomer. Met de Noordpool aan de bovenzijde is de zonsopgang aan de linkerzijde van de aardbol, en zonsondergang aan de rechterzijde.  Het midden van de dag ligt exact op de vertikaal in het midden van de schijf. Zo heeft men tijdcoördinaten vervangen door ruimtecoördinaten. Op deze wijze is het makkelijker om te zien hoe de regulator werkt.

Volgens de beschrijving van een dag in de tropen zou links op de bol ,  nabij de evenaar de bewolking gering moeten zijn , en naar rechts verder toenemen. Dat dit klopt is te zien op onderstaande satellietopname.  Het is een samengestelde afbeelding van 2  weersatellieten, Meteosat en MTsat, en bestrijkt grofweg de Grote Oceaan  (http://www.goes.noaa.gov). Het gebied in het gele kader is de ITCZ (Intertropische Convergentie Zone). Het gele kader omvat een gebied dat loopt van Borneo aan de linkerzijde (8 uur)  tot de westkust van Mexico  (16 uur).  Duidelijk is te zien dat de bewolking (witte vlekken) toeneemt van links naar rechts, naarmate de dag vordert.

willis3

Op de onderste grafieken is voor hetzelfde gebied  weergegeven de verandering van de albedo gedurende de dag (zwarte curve) en de zogenaamde solar forcing anomaly (uitgedrukt in Watt/m2) die van de albedo-anomalie is afgeleid.  De albedografiek is verkregen door  gedurende een jaar op de 1e en 15e van elke maand  de satellietgegevens van het gebied op te slaan en te middelen. Duidelijk is te zien dat er een sterke stijging van de albedo waar te nemen is tussen 10 uur en 11.30 uur.  Gevolg daarvan is een daling van de hoeveelheid zonne-energie in dezelfde periode van maar liefst 60 Watt/m2 . Wat U hierboven ziet is waarschijnlijk de regulator van de aardse temperatuur!

Als het om wat voor reden dan ook in de tropen een beetje koeler dan normaal is, vindt wolkvorming later op de dag plaats. Het beeld van de bovenstaande satellietopname verschuift dan als het ware wat naar rechts. Minder wolken, minder onweerswolken, en dus een stijging van de gemiddelde hoeveelheid zonne-energie/m2 . Is het daarentegen een beetje warmer dan normaal, dan verschuift het beeld naar links waardoor de gemiddelde hoeveelheid  zonne-energie/m2  afneemt. Dit reguleringsmechanisme houdt de temperatuur binnen een tamelijk nauwe bandbreedte.

Wolken spelen een merkwaardige dubbelrol in de stralingsbalans van de aarde. Enerzijds houden ze kortgolvige straling van de zon tegen, anderzijds absorberen ze infraroodstraling en stralen ze infrarood uit naar de ruimte. Wolken verminderen de totale hoeveelheid geabsorbeerde zonnestraling met 50 W/m2, maar reduceren de totale uitgestraalde energie met 30 W/m2. Het totale effect van wolken is derhalve negatief: – 20W/m2 , vooral als gevolg van de dominante invloed van de albedo . Het zal duidelijk zijn dat deze waarden sterk wisselen, afhankelijk van de bewolkingsgraad en dikte. Op lagere breedte (tropen) is het afkoelende effect van wolken zelfs 50 – 100 W/m2, terwijl op hogere breedtes de effecten op instraling en uitstraling elkaar ongeveer in evenwicht houden.

De albedo van wolken varieert van minder dan 10% tot meer dan 90% en hangt af van de grootte van de druppels, of de wolk uit water of ijs bestaat, van dikte van de wolk, en van de hoek van instraling van het zonlicht. Hoe kleiner de druppels en hoe groter de vloeibare waterinhoud, hoe groter de albedo van een wolk. Laaghangende, dikke wolken (zoals cumulus) hebben een hoge albedo, en daardoor een negatieve feedback: ze koelen de aarde af. Hoge, dunne wolken (zoals cirrus) hebben een lagere albedo maar hebben een hogere positieve feedback. Zij dragen bij aan het broeikaseffect.

De belangrijkste oorzaak van het feit dat de diverse klimaatmodellen voor wat betreft de klimaateffecten van het versterkt broeikaseffect zulke diverse uitkomsten vertonen is vooral gelegen in de verschillen tussen de modellen van wolkenprocessen en wolkenfeedbacks. Die verschillen tussen de diverse GCM’s (General Climate Models) voor wat betreft de wolkenfeedback zijn grofweg 3x groter dan de waterdampfeedback, de opname van warmte door de oceanen of de stralingsfeedback  ( Dufresne & Bony, 2008 ).

De negatieve feedback van de meeste wolken is goed waar te nemen als men de albedo bekijkt op onderstaande satellietopnames. De opnames zijn afkomstig van het ERBE project (Earth Radiation Budget Experiment).

Het bovenste beeld is van augustus. De ITCZ ligt dan grotendeels ten N van de evenaar. Hoge albedowaarden  (lichte kleuren) in grote gebieden ten N van de evenaar. Op de opname  van februari  is het beeld andersom: grote gebieden met een hogere albedo bevinden zich nu ten Z van de evenaar. Die hogere albedowaarden hangen samen met de bewolkingsgraad. De albedo “volgt” hier dus als het ware de zon, of anders gezegd, de hogere bewolkingsgraad van de ITCZ.

willis4

Door de traagheid van opwarming en afkoeling van de oceanen in vergelijking met die van het land is ook op beide afbeelding goed te zien dat de albedowaarden boven het land veel sterker fluctueren dan boven de oceanen.

Hoe de regulator werkt

Een onweersbui is zowel een zichzelf genererende als  zichzelf in standhoudende warmtepomp. De werkzame media zijn vochtige warme lucht en vloeibaar water. Zichzelf genererend betekent dat wanneer het wam genoeg wordt boven de tropische oceaan, er elke dag bij een bepaalde temperatuur en luchtvochtigheid  een aantal cumuli plotseling vlam vatten. De toppen van de wolken schieten dan omhoog, waarin de stijgende voortgang van het vocht beladen oppervlak lucht. Op steeds grotere hoogte, verlaat de stijgende lucht de wolk, en wordt vervangen door meer vochtige lucht van onderen. Er is een actieve onweersbui ontstaan.

Zichzelf genererend betekent ook dat onweerswolken spontaan opstijgen als gevolg van temperatuur en verdamping. Eenmaal boven een bepaalde drempelwaarde waarbij de eerste onweerswolken ontstaan, neemt het aantal onweerswolken snel toe. Deze snelle toename van het aantal onweerswolken heeft als gevolg dat de temperatuurstijging beperkt wordt.

Zichzelf in stand houdend betekent dat zodra een onweersbui op gang komt, het niet langer vereist is dat  de starttemperatuur gehaald wordt om het proces te continueren. Dit komt omdat de zichzelf in standhoudende wind aan de basis, plus droge lucht die van boven naar beneden beweegt,  de verdampingssnelheid verhoogt. Het onweer wordt aangedreven door de luchtdichtheid. Het vereist een bron van lichte, vochtige lucht. De dichtheid van de lucht wordt bepaald door zowel de temperatuur als het vochtgehalte (omdat waterdamp een moleculair gewicht heeft van 16, en daarmee iets meer dan half zo zwaar is als lucht, dat een moleculair gewicht van ongeveer 29 heeft).

Verdamping is niet een functie van de temperatuur alleen. Verdamping wordt bepaald een complexe mix van windsnelheid, watertemperatuur en dampdruk. Verdamping wordt berekend door de volgende formule, die gebaseerd op ervaring in plaats van theorie:

E = VK (es – EA)
waarin:
E = verdamping
V = windsnelheid (functie van de temperatuur verschil [ΔT])
K = constante coëfficiënt
es = damp druk aan het verdampen oppervlak (functie van de temperatuur van het water in graden K tot de vierde macht)
st = damp druk van de bovenliggende lucht (functie van de relatieve luchtvochtigheid en temperatuur in graden K tot de vierde macht)

Belangrijk is dat de verdamping  lineair varieert met de windsnelheid. Dit betekent dat de verdamping in de buurt van een onweersbui veel hoger kan zijndan de verdamping op korte afstand van de wolk.  Dus verhoogde wind-aangedreven verdamping betekent dat voor dezelfde dichtheid van de lucht, de oppervlaktetemperatuur lager kan zijn dan de temperatuur die de onweersbui triggerde. Dit betekent dat de bui blijft bestaan en blijft afkoelen tot ruim onder de begintemperatuur. Dit laatste is wat een regulator onderscheidt van een negatieve feedback. Een onweersbui kan meer doen dan alleen de opwarming beperken: het kan het oppervlak koelen tot onder de vereiste triggertemperatuur. Dit maakt het mogelijk dat de onweerswolk actief temperatuur in de omgeving bepaalt.

Een belangrijk kenmerk van deze manier van is dat de evenwichtstemperatuur niet wordt bepaald  door wijzigingen in de hoeveelheid verliezen of door wijzigingen in de forcings  in het systeem. De temperatuur wordt bepaald door de reactie van wind en water en wolken op stijgende temperatuur, niet door de eigen efficiëntie van het systeem of van de inputs.
Bovendien wordt de evenwichtstemperatuur niet sterk beïnvloed door veranderingen in de sterkte van de zonnestraling. Als de zon zwakker wordt neemt de verdamping af, waardoor de wolkvorming afneemt en de beschikbare hoeveelheid zonne-energie weer stijgt. Dit is het waarschijnlijk het antwoord op vraag hoe de temperatuur van de aarde op geologische tijdschaal binnen een bepaalde bandbreedte zo stabiel heeft kunnen blijven, terwijl tegelijk de kracht van de zon is toegenomen.

Schommelingen in de temperatuur

Als de thermostaathypothese juist is en de aarde een actief geregelde evenwichtstemperatuur bezit, wat veroorzaakt dan die trage afwijkingen en andere veranderingen in de evenwichtstemperatuur die men zowel op historische als geologische tijdschaal waarneemt?

Zoals blijkt uit Bejan’s theorie is een beslissende factor  voor de “bedrijfstemperatuur” hoe efficiënt de hele mondiale warmtepomp  is in het verplaatsen van de terra-Watt aan energie uit de tropen naar de polen. Op een geologische tijdschaal bezien zijn de locatie, oriëntatie en het rijzen van de continentale landmassa’s  natuurlijk belangrijke factoren in dit verband. Dat maakt dat Antarctica zo verschilt van de Noordpool vandaag de dag. Het ontbreken van een landmassa in het Noordpoolgebied betekent dat relatief warm water onder het ijs circuleert. In Antarctica gaat de koude tot op het bot.

Bovendien is de hydrografie van zeestromen, die tropisch warm water naar de polen brengen  en koud water weer terug naar de tropen ook een zeer belangrijke factor die de bedrijfstemperatuur van het wereldwijde klimaat- warmtepomp bepaalt.

Op kortere termijn kunnen er langzame veranderingen in de albedo zijn. De albedo is een functie van de windsnelheid, verdamping, wolkdynamiek, en (in mindere mate) sneeuw en ijs. Verdampingshoeveelheden worden bepaald door thermodynamische wetten: alleen de windsnelheid, wolkendynamiek, en sneeuw en ijs zijn in staat om het evenwicht te beïnvloeden.

De variatie in het evenwichtstemperatuur kan bijvoorbeeld het gevolg zijn van een verandering in het wereldwijde gemiddelde windsnelheid. Windsnelheid is gekoppeld aan de oceanen door golfdynamiek, waardoor  lange-termijn variaties in de gekoppelde oceaan-atmosfeerdynamiek optreden. Deze veranderingen in windsnelheid kunnen de evenwichtstemperatuur op cyclische wijze beïnvloeden.

Of er vindt  wijziging in kleur, type of omvang van hetzij de wolken of de sneeuw en ijs. De albedo is afhankelijk van de kleur van de reflecterende stof. Als reflecties worden gewijzigd om welke reden dan ook kan de evenwichtstemperatuur worden beïnvloed. Voor sneeuw en ijs kan dit bijvoorbeeld door afzetting van roetdeeltjes. Wolken kunnen beïnvloed worden als gevolg van aerosolen of stof.

Ten slotte kan de zon van invloed zijn . Er zijn sterke vermoedens dat wolkendek wordt beïnvloed door de Hale magnetische zonnecyclus van 22 jaar.

links:
Bejan, A, and Reis, A. H., 2005, Thermodynamic optimization of global circulation and climate, Int. J. Energy Res.; 29:303–316. Available at http://homepage.mac.com/williseschenbach/.Public/Constructal_Climate.pdf

Richard S. Lindzen, Ming-Dah Chou, and A. Y. Hou, 2001, Does the Earth Have an Adaptive Infrared Iris?, doi: 10.1175/1520-0477(2001)082<0417:DTEHAA>2.3.CO;2
Bulletin of the American Meteorological Society: Vol. 82, No. 3, pp. 417–432.
Available online at http://ams.allenpress.com/pdfserv/10.1175%2F1520-0477(2001)082%3C0417:DTEHAA%3E2.3.CO%3B2

Ou, Hsien-Wang, Possible Bounds on the Earth’s Surface Temperature: From the Perspective of a Conceptual Global-Mean Model, Journal of Climate, Vol. 14, 1 July 2001. Available online at http://ams.allenpress.com/archive/1520-0442/14/13/pdf/i1520-0442-14-13-2976.pdf